Octubre

Jueves, 1 de Octubre del 2015
Los Números Complejos


Un Número Complejo es una expresión del tipo

z = a + bi

donde a y b son números reales e i es un símbolo.

Representación Algebráica o Binómica de un número complejo

El siguiente es un número complejo z = x+iy

Re(z)= x, parte real
Im(z)=y, parte imaginaria

Representación Cartesiana

Propiedad de Igualdad entre Números Complejos

La igualdad de números complejos se define así:

Esto es, dos complejos son iguales si y sólo si sus partes reales son iguales y sus partes imaginarias son iguales

Operaciones de Números Complejos

SUMA

Sean z1 = a1 + b1i y z2 = a2 + b2i dos números complejos. Entonces la suma de z1 con z2, denotada por z1 + z2 es el número complejo   

z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i

Es decir, para sumar números complejos simplemente se suman sus componentes correspondientes.

Ejemplo. Para sumar z1 = 3 + 2i con z2 = −8 + 4i hacemos, 

z1 + z2 = (3 + 2i) + (−8 + 4i) = (3−8) + (2 + 4)i z1 + z2 = −5 + 6i

Existencia del elemento neutro aditivo

El elemento neutro es 0 + 0 i , puesto que

(a + b.i) + (0 + 0 i) = (a + 0) + i (b + 0) = a + b.i

Propiedades

Conmutativa Dados dos números complejos a + b.i y c + d.i se tiene la igualdad:

(a + b.i) + (c + d.i) = (c + d.i) + (a + b.i)

 Asociativa Dados tres complejos a + b.i, c + d.i y e + f.i , se cumple:

[(a + b.i) + (c + d.i)] + (e + f.i) = (a + b.i) + [(c + d.i) + (e + f.i)]

Existencia del inverso aditivo

El inverso aditivo de un número complejo cualquiera a + b.i es (- a - b.i):

(a + b.i) + (-a - b.i) = 0 + 0 i= 0

RESTA

 Sean Z = a + bi y W = c+di dos números complejos, entonces la diferencia o resta entre Z y W viene dada por 

Z −W = (a−c) + (b−d)i 

Ejemplo. Sean Z = 4 + 7i y W = 2 + 3i. Entonces

Z −W = (4−2) + (7−3)i = 2 + 4i 

PRODUCTO

Sean Z = a + bi y W = c + di definimos su producto, mediante la fórmula 

Z ·W = (ac−bd) + (ad + bc)i

Ejemplo. Z = 8 y W = 3+2i. Entonces para hallar Z ·W 

Z ·W = 8(3 + 2i) = 24 + 16i 

Propiedades

Conmutativa

Dados dos complejos a + b.i y c + d.i , se cumple que:
(a + b.i).(c + d.i) = (c + d.i) (a + b.i)

Asociativa

Dados los complejos a + bi, c + d.i y e + f.i se cumple que:
[(a + b.i) (c + d.i)](e + f.i) = (a + b.i) [(c + d.i) (e + f.i)]

Distributiva 
Dados tres números complejos a + b.i, c + d.i y e + f.i, se cumple:
(a + b.i).[(c + d.i) + (e + f.i)] = (a + b.i) (c + d.i) + (a + b.i).(e + f.i)

Existencia del elemento neutro multiplicativo
El elemento neutro del producto es 1 + 0 · i = 1, puesto que para cualquier complejo
a + b.i , (a + b.i) (1 + 0. i) = (a + b.i).1 = a + b.i.
El elemento neutro es el uno.

El conjugado de Z
Si Z = a + bi es un número complejo, entonces el Conjugado de Z, denotado por Z, es otro número complejo definido por

El Módulo de Z

Si Z = a+bi es un número complejo, el Módulo de Z es el número real

Existencia del elemento inverso multiplicativo

Dado un complejo cualquiera a + b.i , distinto de 0 + 0 i , existe otro complejo que, multiplicado por él,da el elemento neutro del producto, es decir, 1 + 0 i.

Demostración:

(a + b.i) (x + y.i) = 1 + 0 i

(a + b.i).(x + y.i) = (ax - by) + (ay + bx) i . Por tanto ha de ser:

ax - by = 1, multiplicando por a se tiene: a² x - aby = a

bx + ay = 0, multiplicando por b se tiene: b² x + aby = 0

Sumando (a² + b²).x = a ⇒ x = a/(a² + b²)

Despejando y en la segunda ecuación:

El inverso de un número complejo z = a + b.i , se suele denotar por 1/z ó z^-1.

Por tanto, si z = a + b.i ,

1/z = a/(a² + b²) - b.i/(a² + b²)

División 

La división es la operación inversa de la multiplicación. Esto es, dividir un número complejo entre otro es el resultado de multiplicar el primero por el inverso del segundo.

Propiedades del conjugado y del módulo de un complejo

Lunes, 5 de Octubre del 2015

Forma polar de un complejo

, .

Producto 

La forma polar de un número complejo es especialmente cómoda a la hora de multiplicar, ya que basta con multiplicar los módulos y sumar los argumentos, es decir, si , y , entonces:

Del mismo modo se puede calcular el cociente de un complejo por otro no nulo sin más que dividir los módulos y restar los argumentos:

,

siempre que .

Potencias y Raíces 

Supongamos que Z = |Z|(cosθ+i senθ), y n es un entero positivo, entonces se obtiene:

Zn = |Z|n(cos(n·θ) + i sen(n·θ)) 

Esta relación, que se conoce con el nombre de Fórmula de Moivre, nos da un algoritmo bastante eficiente para hallar la potencia nésima de cualquier número complejo en forma polar.

Ejemplo. Sea Z = 2(cos30o + i sen30o). Calcule la potencia de orden cinco de este número, es decir, Z5.

Z5 = 25(cos(5·30o) + i sen(5·30o)) Z5 = 32(cos150o + i sen150o)

Sea Z = |Z|(cosθ + isenθ), entonces

Ejemplo. Hallar todas las raíces cúbicas de Z = 8(cos30o + isen30o)

con K = 0, 1, 2. Sustituyendo estos valores de k en la expresión de arriba nos da las tres raíces cúbicas

Jueves, 8 de Octubre del 2015

LUGARES GEOMÉTRICOS EN C

Distancia

Círculo
Si Zo es un número complejo y r es un número positivo
|Z - Zo| = r 
Z=x+iy
Zo= xo+iyo
|(x+iy) - (xo+iyo)| = r
(x-xo)² + (y-yo)² = r²    Ec. circunferencia de C(xo,yo) y radio r

|z- a| >r

EJEMPLO

Recta

 

Y = mx+b  ------  Ec. de la recta bisectriz

Lunes, 12 de Octubre del 2015

Funciones de Variable Compleja

f: C-C

z-w=f(z)

w= Re[f(z)] + i Im [f(z)]

Si z= x+iy --- f(z)= f(x,y)

Re[f(z)] = u(x,y)

Im [f(z)]= v(x,y)

EJEMPLOS

Representaciones Gráficas

No es posible representar f(z), ya que se requiere R⁴ , pero es posible otras opciones como las siguientes:

•  Representar la Re[f(z)]
•  Representar la Im[f(z)]
• El módulo de f(z): |f(z)|
• El argumento principal
• Representar en el plano complejo la posición de sus ceros y sus polos.
• Representar las curvas de nivel de la parte real e imaginaria.

EJEMPLO

Sea f(z) = 6z-5+9i

f(x,y) = (6x-5) + i(6y+9)

Representa: 

a.Re[f(z)] = u (x,y) = 6x-5 ---- superficie (plano)

b.Im[f(z)] = v (x,y) = 6y+9

a. Si z=u(x,y)---z=6x-5   Ec. plano con generatriz paralela al eje OY

Transformaciones del plano complejo

Una representación alternativa consiste en graficar las imágenes de rectas en el plano complejo. 

EJEMPLO

w= f(z) =z² = (x²- y²) + i2xy

Límites

Una  función f(z) se dice que tiene límite w0 cuando z tiende a z0, y

se escribe:  

En términos matemáticos

0<|z-z0|<ẟ garantiza que |f(z)-L|<Ԑ     

Propiedades

Si

EJEMPLO

Lunes, 19 de Octubre del 2015

Continuidad

Una función, f(z), se dice que es continua en un punto, z0, si existen los valores de f(z0) y de lim f(z) z--z0 y ambos coinciden. Es decir: 

Se pueden presentar dos tipos de discontinuidad:

1. Inevitable: si no existe límite de f(z) cuando z---zo
2. Evitable; si existe límite de f(z) cuando z---zo, pero no existe f(zo).Por tanto se debe REDEFINIR, para transformar a la función en continua en zo.

Análisis de continuidad

Derivación

Supóngase que f(z) es una función de variable compleja definida en una vencindad de un punto zo. La derivada de f(z) en el punto z0 es:

Siempre y cuando el límite exista.

• Se puede utilizar también:

• Las reglas de derivación y propiedades de las derivadas de funciones de variable real se aplican en las funciones de variable compleja.

EJEMPLO

Lunes, 26 de Octubre de 2015

Ecuaciones de Cauchy-Riemann (ECR)

Sea f(z) = u (x,y) + iv(x,y), una función de variable compleja, se dice que es analítica si se cumplen las ECR:

Teorema: Sea f(z)=u(x, y)+iv(x, y) una función definida en alguna región D que contiene a Zo y que tiene primeras derivadas parciales continuas y que satisfacen las ECR en Zo entonces f'(Zo) existe.

Coordenas Conjugadas

Un par de funciones u(x, y) y v(x, y) de variables reales x, y que satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann se dice que son conjugadas.

Funciones Analíticas

-Se dice que f es analítica en Ω cuando es derivable en todos los puntos de Ω.

-Si f(z) es analítica en todo el plano complejo se dice que f es función entera.

-Las funciones analíticas se denominan también holomorfas o regulares.

- La derivada de una función analítica, también es analítica.

 La función f(z) = *z*2 es derivable en z=0 pero no es analítica en dicho punto. Ya que: 

y éste último límite existe si, y sólo si z=0. Por tanto, no existe ningún entorno de 0 donde la función sea derivable.

EJEMPLO

Funciones Armónicas

Sea f(z)= u(x,y) + iv (x,y) una función analítica, u ^ v se dice que son funciones armónicas y satisfacen:

Se dice que "u" es la conjugada armónica de "v" y "v" es la conjugada armónica de "u".

EJERICICIO

29 de Octubre del 2015

Funciones Trascendentes básicas

EJERCICIO

Bibliografía

http://www.fisicanet.com.ar/matematica/numeros_complejos/ap03_numeros_complejos.php

http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Complejos/marco_complejos.htm

https://algebraunq.wikispaces.com/file/view/Distancia+entre+dos+n%C3%BAmeros+complejos.pdf

http://www2.caminos.upm.es/Departamentos/matematicas/Fdistancia/PIE/Analisis%20matematico/Temas/C02_Funciones_complejas.pdf

http://ocw.uc3m.es/matematicas/ampliacion-de-matematicas-i/soluciones/solu2.pdf

http://www.dmae.upct.es/~jose/ampcal/complex.pdf