Enero

Función Impulso Unitario

La función     dada por

donde ,  se conoce como la función impulso unitario. La gráfica de la función escalón para  y  se muestra en la figura.

Observación: para valores pequeños de , se tiene que  es una función constante de gran magnitud que esta activa por un tiempo muy corto alrededor de .

La función delta de Dirac esta dada por

Observación: la función delta de Dirac, no es una función, realmente es lo que se conoce como una función generalizada (o distribución).

Video complementario

Ejemplo:

Propiedades de Impulso Unitario 

Función escalonada unitaria o Función unitaria de Heaviside (función a tramos)

Está definida por:

 (no se incluye el 0)

Ejemplo:

Tren Periódico de Impulsos Unitarios

Es aquella función periódica definida como: 

Cuya descomposición en Serie de Fourier es:

Ejemplo: 

 

Transformada de Fourier

Para una función no periódica P-->∞

La primera integral que obtiene F(ω) se denomina transformada de Fourier de f(t), y la segunda se denomina transformada inversa de Fourier.

Función pulso rectangular

La expresamos como;

Propiedades

Linealidad

Ejemplo:

Transformada de Fourier de una convolución

 Definición:

Demostración:

Transformada de Fourier de función impulso

Ejemplo:

Transformada de una función constante (no varía)

Por definición:

Ejemplo:

 Transformada de Fourier de función escalón unitario

Función pulso rectangular (Heavisde)

Video complementario

Transformación de EDO lineales de 2do grado a la forma Sturm- Liouville

También llamada forma autoadjunta o forma S-L

Ejercicio:

Valores propios y funciones propias

El valor propio de un vector propio es el factor de escala por el que ha sido multiplicado

Af(x)=𝞴f(x)

𝞴-----Valor propio

  

Ejemplo:

Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDP)

Es una ecuación donde una cierta función incógnita u viene definida por una relación entre sus derivadas parciales con respecto a las variables independientes.

Si u = u(x,y,z), una ecuación diferencial en derivadas parciales sería:

Método de separación de variables

Limitaciones para aplicar el método

- EDP debe ser lineal

- Debe ser una función de dos variables independientes

Principio de Superposición

Por el principio de superposición (es decir, la suma de soluciones de una ecuación lineal homogénea también es solución de dicha ecuación)

Ejemplo:

 

ECUACIONES CLÁSICAS Y PROBLEMAS DE VALOR EN LA FRONTERA

Definiciones

A estas ecuaciones clásicas de la física matemática se les conoce, respectivamente, como:

• Ecuación en una dimensión del calor.(Parabólica)
• Ecuación de onda unidimensional. (Hiperbólica)
• Ecuación de Laplace en dos dimensiones. (Elíptica)

Clasificación

En función de este discriminante clasificaremos la ecuación.

Sea D = B^2 − AC entonces,

1) La ecuación lineal es de tipo hiperbólico si y sólo si D > 0.

2) La ecuación lineal es de tipo elíptico si y sólo si D < 0.

3) La ecuación lineal es de tipo parabólico si y sólo si D = 0.

Ecuación de transmisión de calor

La ecuación se origina en la teoría del flujo de calor; esto es, el calor transferido por conducción en una varilla o alambre delgado. 

La función U(X, t) es la temperatura.

K es la difusividad térmica

X es la variable independiente

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Bibliografía:

https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/EcuacionesDiferenciales/EDO-Geo/edo-cap5-geo/laplace/node9.html

https://cnx.org/contents/89P4HPEW@9/Funcin-de-Impulso

http://grupo_ene.webs.uvigo.es/publicaciones/Apuntes_Fourier.pdf

http://www.sc.ehu.es/sbweb/energias-renovables/MATLAB/simbolico/fourier/fourier_1.html

http://www.ie.itcr.ac.cr/faustino/modelos/04%20-%20Tfourier.pdf

http://www4.tecnun.es/asignaturas/metmat/Texto/En_web/Derivadas_parciales/Ecudif2_07.htm