Noviembre

Integración en el plano complejo 

En el caso de funciones complejas analíticas, las integrales indefinidas, se mantiene la analogía con las funciones reales. Se presentan novedades en ciertos casos que son propiamente de las funciones complejas.

- Los números complejos se representan en el plano complejo, lo que nos lleva a considerar las integrales de línea sobre la curva ɣ en el plano complejo en lugar de las integrales de Riemann.

- Las integrales de línea de las funciones complejas son análogas a las integrales de funciones de dos variables.

- En las integrales cerradas se presentan propiedades novedosas que son propias de las funciones analíticas complejas, tales como la Integral de Cauchy y la existencia de derivadas de orden superior 

Curvas en el plano complejo

Dado un intervalo compacto de la recta real [a,b], de finiremos una curva en C como una aplicación continua γ :[a,b] → C. La imagen o gráfica de la curva en el plano complejo la denotaremos por graf(γ)={γ(t):t∈[a,b]}. Dado t∈[a,b] se tiene que 

γ(t) = Reγ(t)+iImγ(t)=x(t)+iy(t),

donde x(t) e y(t) son las partes real e imaginarias de γ(t).

Integrales de Línea

Sea f(z) una función compleja, continua en todos los puntos de una curva simple C de longitud finita que une a los puntos a y b.

Integrales cerradas

- Las integrales cerradas se denotan :

- La evaluación de estas integrales se realiza tal como las integrales de línea

- La única condición para que se denominen CERRADAS, es que ɣ  deber ser una curva cerrada.

1. Teorema de la integral de Cauchy

El Teorema de la integral de Cauchy establece que si f(z) es una funci´on anal´ıtica con derivada f0(z) continua en todos los puntos dentro y sobre una curva cerrada simple C, entonces se cumple 

2. Independencia de la trayectoria

Una de las consecuencias más importantes del teorema de la integral de Cauchy es la independencia de la trayectoria de integración de un punto a a un punto b para una integral de contorno si el integrando es una función analítica. Esto se observa eligiendo dos puntos cualesquiera sobre una curva cerrada sobre y dentro de la cual la funci´on f(z) es analítica (figura 2.34). Puesto que

donde considerando que si se invierte la dirección de, por ejemplo C2, lo que se denota por −C2 y, como C1, tambi´en va de a hacia b, entonces 

donde considerando que si se invierte la direcci´on de, por ejemplo C2, lo que se denota por −C2 y, como C1, tambi´en va de a hacia b, entonces  

3. Teorema de la deformación

Sea f (z) una función analítica en un dominio D, excepto en Zo y sea ɣ y Ω dos curvas cerradas simples que encierran a Zo, entonces:

4. Fórmula de la integral de Cauchy

Sea f(z) una función analítica dentro y sobre un contorno de integración simple y conexo C. Si z0 se encuentra dentro de C entonces

o lo que es equivalente

5. Fórmula de Cauchy para derivadas de orden superior

Sea f(z) analítica en un dominio simplemente coneco D y sea Zo en D, entonces f tiene derivadas de todos los órdenes. Entonces la "n-ésima" derivada de f en Zo es

EJEMPLOS

Sucesiones y Series de Variable Compleja

-Son similares a las sucesiones y series de variable real. Para determinar la convergencia se analiza utilizando los mismos criterios.

- En el caso de los números complejos la serie que es propia de ellos es la serie de Laurent, siendo una generalización de la serie de Taylor.

- La serie de Laurent nos servirá para evaluar integrales comlpejas y reales.

Sucesiones

Una sucesión de números complejos es una aplicación zn : N → C. Toda sucesión de números complejos la podemos ver como dos sucesiones de números reales al verificarse que zn = Rezn+iImzn.

De esta manera el cálculo de límites se reduce a lo siguiente:

Es decir, el cálculo de límites de sucesiones de variable compleja se hace una vez conocido el cálculo de límites para sucesiones de variable real.

Propiedades

Series
- Si sumamos los elementos de una sucesión, se obtiene una serie que se denota:

-La convergencia de una serie compleja se analiza por la convergencia de sus series reales
Propiedades

Series Espaciales
1. Serie Geométrica
2. Serie Armónica
3. Serie "p"

Criterios de Convergencia

1. Criterio de la razón 
Sea u1+u2+⋯+un+⋯ una serie compleja. Supongamos que |un+1/un| tiene límite L. Entonces:
i) Si L<1, la serie es absolutamente convergente.
ii) Si L>1, la serie es divergente.
iii) Si L=1, el criterio no decide.
2. Criterio de la raíz
Sea u1+u2+⋯+un+⋯ una serie compleja. Supongamos que |un|−−−√n tiene límite L. Entonces:
i) Si L<1, la serie es absolutamente convergente.
ii) Si L>1, la serie es divergente.
iii) Si L=1, el criterio no decide.
3. Criterio de la comprobación

Si la serie finita 

 es convergente (o divergente) y  una serie infinita, tal que existe K>0; |Zn|<= K|Wn|, entonces la serie  

es convergente ( si Wn es convergente) o divergente (si Wn es divergente).

EJEMPLOS

Series de potencia

Una serie de potenciasde centro z0 ∈C es una expresión de la forma 

donde an ∈C para todo n ≥ 0. Diremos que la serie converge en un número complejo w si la serie numérica es convergente. 

Si además dicha serie converge absolutamente en dicho número, diremos que la serie de potencias converge absolutamente en w. Es claro que cualquier serie de potencias converge en su centro. 

Convergencia de una serie de potencias

Vamos a demostrar que para cualquier serie de potencias existe un número finito o infinito r llamado radio de convergencia de la serie tal que si r > 0 , entonces para x < r la serie converge y para x > r, la serie diverge. Para x = r, es decir, para x = r y x = −r , la serie converge o diverge. El intervalo abierto ] [ − r,r recibe el nombre de intervalo o círculo de convergencia de la serie de potencias considerada. Si r = ∞ , el intervalo de convergencia es toda la recta real. Por el contrario, si r = 0 , la serie de potencias converge sólo en el punto x = 0 y, hablando rigurosamente, no hay intervalo de convergencia. 

Radio de convergencia

El radio de convergencia de una serie de potencias compleja sumatorio de  an(z − z0)n puede calcularse por el criterio de D’Alembert o por el criterio de la raíz:

admitiendo valores nulos e infinitos en los límites.

Serie de Taylor

f(z) es holomorfa en el dominio Ω ⊂ C si y sólo si es analítica en Ω. Además, si a ∈ Ω y d es la distancia de a a ∂Ω, entonces

para todo z ∈ D(a,d). 

EJEMPLO

Bibliografía
http://www.ie.itcr.ac.cr/palvarado/Modelos/cap02.pdf
http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/docums/agonzalez-variablecompleja.pdf
http://www.dmae.upct.es/~jose/ampcal/complex.pdf
https://marcfarres.files.wordpress.com/2011/01/taylorcomp.pdf
http://www.uoc.edu/in3/emath/docs/Series_Potencias.pdf
http://ocw.uc3m.es/matematicas/ampliacion-de-matematicas-i/lecturas/cap5.pdf